数字电路公式介绍

数字电路的核心计算公式主要集中在布尔代数、逻辑门运算和触发器时序等方面。

一、布尔代数基本公式

1. 基本运算

• 与（AND）：\( F = A \cdot B \)
• 或（OR）：\( F = A + B \)
• 非（NOT）：\( F = \bar{A} \)
• 异或（XOR）：\( F = A \oplus B = A\bar{B} + \bar{A}B \)
• 同或（XNOR）：\( F = A \odot B = \overline{A \oplus B} = AB + \bar{A}\bar{B} \)

2. 基本定律

• 交换律：
  \( A + B = B + A \)
  \( A \cdot B = B \cdot A \)
• 结合律：
  \( (A + B) + C = A + (B + C) \)
  \( (A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) \)
• 分配律：
  \( A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C \)
  \( A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C) \)

3. 恒等式

• \( A + 0 = A \)， \( A \cdot 1 = A \)
• \( A + 1 = 1 \)， \( A \cdot 0 = 0 \)
• \( A + A = A \)， \( A \cdot A = A \)
• \( A + \bar{A} = 1 \)， \( A \cdot \bar{A} = 0 \)

4. 德摩根定理（De Morgan’s Theorem）

• 与或转换：
  \( \overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B} \)
  \( \overline{A + B} = \bar{A} \cdot \bar{B} \)
• 推广到多变量：
  \( \overline{A \cdot B \cdot C} = \bar{A} + \bar{B} + \bar{C} \)
  \( \overline{A + B + C} = \bar{A} \cdot \bar{B} \cdot \bar{C} \)

5. 常用化简公式

• 吸收律：
  \( A + A \cdot B = A \)
  \( A \cdot (A + B) = A \)
• 合并律：
  \( A \cdot B + A \cdot \bar{B} = A \)
  \( (A + B) \cdot (A + \bar{B}) = A \)
• 冗余律：
  \( A + \bar{A} \cdot B = A + B \)
  \( A \cdot (\bar{A} + B) = A \cdot B \)

二、组合逻辑电路相关公式

1. 逻辑函数表示

• 标准与或式（SOP）：最小项之和
  \( F = \sum m(0, 1, 3) \)
• 标准或与式（POS）：最大项之积
  \( F = \prod M(2, 4, 5, 6, 7) \)

2. 多路选择器（MUX）

• \( n \) 个选择控制端 → 可选择 \( 2^n \) 路输入
  输出 \( Y = \sum_{i=0}^{2^n-1} (D_i \cdot M_i) \)，其中 \( M_i \) 为选择信号对应的最小项。

三、时序逻辑电路公式

1. 触发器特征方程

• D触发器：\( Q_{n+1} = D \)
• JK触发器：\( Q_{n+1} = J\bar{Q}_n + \bar{K}Q_n \)
• T触发器：\( Q_{n+1} = T \oplus Q_n \)
• SR触发器：\( Q_{n+1} = S + \bar{R}Q_n \)（约束条件：\( S \cdot R = 0 \)）

2. 时序电路分析

• 状态方程：\( Q_{n+1} = f(Q_n, \text{输入}) \)
• 输出方程：\( Z = g(Q_n, \text{输入}) \)

四、脉冲与时钟相关

1. 频率与周期

• \( f = \frac{1}{T} \)，\( T = t_{\text{high}} + t_{\text{low}} \)
• 占空比：\( D = \frac{t_{\text{high}}}{T} \times 100\% \)

2. 计数器模值

• 模 \( N \) 计数器：\( N = 2^n \)（n位二进制计数器）
• 非2的幂次模值：需用反馈或预置数实现（如模10计数器）。

五、常用集成电路参数公式

1. 传播延迟

• \( t_{pd} = \max(t_{PHL}, t_{PLH}) \)，其中 \( t_{PHL} \) 为高到低延迟，\( t_{PLH} \) 为低到高延迟。

2. 噪声容限

• 低电平噪声容限：\( NM_L = V_{IL(max)} - V_{OL(max)} \)
• 高电平噪声容限：\( NM_H = V_{OH(min)} - V_{IH(min)} \)

六、存储器容量计算

• 容量 = 地址单元数 × 数据位宽 例如：\( 2^{10} \) 个地址 × 8位 = \( 1024 \times 8 \) bit = 1 KB